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等的麦克劳林（Maclauri）的展开式把一些简单的函数间接展开成幂级数。《高等数学》教学大纲
课程编号： Z122001
Z122002
学时数：130
学分数：
适合专业：高职、高专工科专业
一、
本课程的性质、目的和任务
高等数学是高等院校工科学生必修的一门重要的基础理论课，它在现代科学技术中有着极其广泛的应用
。本课程主要综合了微积分、向量代数与空间解析几何、常微分方程等多方面的数学基础知识。通过本课程的学习，使学生系统地获得高等数学的基本知识，掌握必要的基础理论和常用的运算方法,并注意培养学生比较熟练的运算能力、抽象思维能力、逻辑推理能力、几何直观和空间想象能力，从而使学生受到数学分析方法和运用这些方法解决几何、物理等实际问题的初步训练，为后继课程的学习和今后从事科研活动奠定必要的数学基础。
二、 课程教学的基本要求
（一）
函数、极限、连续
1．掌握函数的概念，会求函数的定义域。
2．了解分段函数的概念。
3．理解复合函数的概念，会分析复合函数的复合过程。掌握基本初等函数及其图形。
4．能熟练列出简单问题中的函数关系。
5．理解函数极限和左、右极限的描述定义。会用左、右极限验证极限。
6．理解无穷小、无穷大的概念及其相互关系，理解无穷小的性质，
会对无穷小量进行比较。
7．了解夹逼准则和单调有界准则。会用两个重要极限求极限。
8.
掌握极限的四则运算。
9. 掌握函数在一点连续的概念。会判断间断点的类型。
10.
了解初等函数的连续性及闭区间上连续函数的性质。
11.
会求连续函数和分段函数的极限。
（二）
一元函数微分学
1.
掌握导数和微分的概念。了解导数、微分的几何意义。了解函数可导、可微、连续之间的关系。会用导数描述一些实际问题中的变化率。
2.
掌握导数、微分的运算法则。掌握导数的基本公式。了解高阶导
数概念。能熟练地求初等函数的一、二阶导数，会求简单函数的
高阶导数。
3.
会求隐函数和参数方程所确定的函数的一阶导数，会求它们的比较简单的二阶导数。
4.
了解罗尔（Rolle）定理、拉格朗日(Lagrange)定理和柯西(Cauchy)定理。
5.
掌握罗必塔（L’Hospital）法则。会求未定型极限。
6.
掌握判断函数增减性的方法。理解函数极值的概念。会求函数的极值。掌握简单的最大、最小值的应用题的求解。会判断函数图形的凹凸性及求函数的拐点，会描绘简单的函数图形（包括求水平渐近线和铅直渐近线）。
（三）
一元函数积分学
1．理解不定积分和定积分的概念、性质及其相互关系。
2．掌握不定积分的基本公式。熟练掌握不定积分、定积分的换元法和
分部积分法。会求简单的有理函数积分。
3．了解变上限的定积分是变上限函数及其求导定理。掌握牛顿（Newton）
—莱布尼兹（Leibniz)
公式。
4．了解广义积分的概念。会计算一些简单的广义积分。
5．掌握定积分的微元法，并会用微元法求解一些简单的几何、力学和
物理问题。
（四） 向量代数与空间解析几何
1.
理解空间直角坐标系的概念和空间两点间的距离公式。理解向量的
概念。
2.
了解二、三阶行列式的概念。掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积）。会求两向量间的夹角。了解两向量间平行与垂直的充要条件。
3.
了解向量的模和方向余弦及向量的坐标表达式，掌握用坐标表达式进行向量运算。
4.
理解以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程
及其图形。了解曲面方程的概念。知道常用二次曲面的方程及其图
形（不包括马鞍面）。
5.
理解平面方程、直线方程，并会求它们的方程。
6.
了解空间曲线的参数方程和一般方程，会求简单空间曲线在坐标轴
上的投影。
（五） 多元函数微分学
1.
理解二元函数的概念，会求二元函数的定义域。
2.
了解二元函数的极限、连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数
的性质。
3.
理解偏导数、全微分的概念。了解全微分存在的必要条件和充分条件。
4.
掌握复合函数的求导法则。会求二阶偏导数（抽象函数不作要求）。
5.
会求隐函数的一阶偏导数。
6.
了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面及法线，并会求它们的方
程。
7.
理解多元函数极值的概念，会求多元函数的无条件极值。
（六）、多元函数的积分学
1.
理解二重积分的的概念。了解二重积分性质。
2.
熟练掌握二重积分的计算方法。
3.
会用二重积分解决简单的应用题（面积、体积）。
4.
理解对弧长、对坐标曲线积分的概念，并掌握它们的计算方法（着
重平面曲线）。
5.
掌握格林（Green）公式。会运用曲线积分与路径无关的条件。
（七）、无穷级数
1.
理解无穷级数的收敛、发散及级数和的概念。了解无穷级数收敛的必
要条件及其基本性质。
2. 理解几何级数和p级数的收敛性
3.
会用正项级数的比较审敛法和根值审敛法。掌握正项级数的比值审敛
法。
4.
掌握交错级数的莱布尼兹（Leibniz）审敛法。
5.
了解无穷级数的绝对收敛与条件收敛的概念。了解绝对收敛与收敛的关系。
6.
会求幂级数的收敛半径和收敛区间。
7.
了解幂级数在其收敛区间内的基本性质。
8.
了解泰勒（Taylor）公式和函数展开成泰勒级数的充要条件，能利用
、
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、
等的麦克劳林（Maclauri）的展开式把一些简单的函数间接展开成幂级数。
（八）、常微分方程
1.
理解微分方程、方程的阶、解、通解、特解等概念。
2.
熟练掌握可分离变量的微分方程及一阶线性微分方程的解法，会解
简单的齐次方程。
3.
了解全微分方程的解法，会用降阶法求解
这二
种高阶微分方程。
4. 了解二阶线性微分方程解的结构。
5.
掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法。
6.
会求自由项为
的二阶常系数非齐次线性微分方程的解。
7.
会用微分方程知识解决一些简单的实际问题。
三、课程的教学内容、重点和难点
（一）、函数、极限、连续
重点：函数的概念，极限的概念，无穷小，极限的四则运算，函
数的连续性。
难点：利用左、右极限来讨论极限的存在性。
（二）、一元函数微分学
重点：导数和微分的概念，导数几何意义，初等函数导数的求法，
拉格朗日定理，罗必塔法则，函数增减性的判定法，函数的极
值及其求法，最大值、最小值问题。
难点：抽象函数的求导。隐函数的求导。函数图形的描绘。
（三）、一元函数积分学
重点：原函数与不定积分的概念，不定积分的性质，基本积分公式，换元积分法和分部积分法，定积分的概念，定积分的中值定理，了解变上限的定积分作为是变上限的函数及其求导定理，牛顿—莱布尼兹公式。
难点：不定积分的计算。
（四）、向量代数与空间解析几何
重点：向量的概念，向量的坐标，向量的数量积、向量积，平面的点法式方程，直线的对称式方程，曲面方程的概念，空间曲线的参数方程。
难点：平面和直线的方程。
（五）、多元函数微分学
重点：多元函数的概念，偏导数与全微分的概念，多元复合函数的求导法则。
难点：多元复合函数的求导
（六）、多元函数的积分学
重点：二重积分的的概念及其计算方法，曲线积分的概念及其计算方
法，格林公式，曲线积分与路径无关的条件。
难点：二重积分的的计算。曲线积分的格林公式与全微分求积。
（七）、无穷级数
重点：无穷级数的收敛、发散的概念，正项级数的比较审敛法，级
数的绝对收敛与条件收敛的关系，幂级数的收敛半径与收敛区
间，泰勒级数，函数的幂级数展开式。
难点：正项级数的审敛法.
函数的幂级数展开式。
（八）、常微分方程
重点：微分方程的概念，微分方程的解、通解、特解概念，可分离变
量的微分方程，一阶线性微分方程，二阶线性常系数微分方程。
难点：二阶线性常系数非齐次微分方程的求解。
四、课程各教学环节要求
1.
习题课是教学中的重要环节，可以每章的总复习题为主，再适当引进一些教材外的例题，难度适中。
2.
作业布置80％是计算题，20％是证明题和讨论题。
|
|
教学环节 课程内容 |
讲
课 |
习题课 |
作业量 (小时) |
|
1 |
函数、极限、连续 |
12 |
2 |
6 |
|
2 |
导数与微分 |
10 |
2 |
4 |
|
3 |
中值定理与导数应用 |
10 |
2 |
4 |
|
4 |
不定积分 |
8 |
2 |
3 |
|
5 |
定积分及其应用 |
12 |
2 |
6 |
|
6 |
向量代数与空间解析几何 |
10 |
2 |
5 |
|
7 |
多元函数微分法及其应用 |
12 |
2 |
5 |
|
8 |
重积分 |
10 |
2 |
3 |
|
9 |
曲线积分 |
6 |
2 |
3 |
|
10 |
常数项级数、幂级数 |
8 |
2 |
3 |
|
11 |
常微分方程 |
10 |
2 |
5 |
|
12 |
共
计 |
108 |
22 |
47 |
五、
学时分配
六、
课程与其他课程的联系
1.
保证与工程数学的连贯性。通过高等数学的学习，使学生顺利地学习有关工程数学的课程。
2.
复变函数由于和微积分的联系较多，线性代数相对独立，高等数学结束后应该先开设复变函数课再开线性代数。
七、考核方式
考教分离，统一考试，流水阅卷。
八、教学参考书
教
材:《高等数学》（第四版）上、下册
，同济大学数学教研室主编 ，高等教育出版社出版。
参考书目：
1.《高等数学解难》李铁臣、高进编著，航空工业出版社。
2.《高等数学辅导》同济×高等数学 ，北京大学数学科学学院
邹本腾、漆毅、王奕倩主编，科学技术文献出版社出版。
3．《高等数学习题课讲义》同济大学应用数学系主编，高等教育出版社
高等数学教研室
2002.12.5
